2017南充中考数学练习试卷(2)
∵D为OB的中点，
∴CD是△OBE的中位线，即CD= BE.
设A(x， )，则B(2x， )，CD= ，AD= ﹣ ，
∵△ADO的面积为1，
∴ AD•OC=1， ( ﹣ )•x=1，解得k= ，
故答案是： .
21.如图，将一张矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠，点C的对应点为C′，再将所折得的图形沿EF折叠，使得点D和点A重合.若AB=3，BC=4，则折痕EF的长为 .
【考点】翻折变换(折叠问题);矩形的性质.
【分析】首先由折叠的性质与矩形的性质，证得△BND是等腰三角形，则在Rt△ABN中，利用勾股定理，借助于方程即可求得AN的长，又由△ANB≌△C′ND，易得：∠FDM=∠ABN，由三角函数的性质即可求得MF的长，又由中位线的性质求得EM的长，则问题得解.
【解答】解：设BC′与AD交于N，EF与AD交于M，
根据折叠的性质可得：∠NBD=∠CBD，AM=DM= AD，∠FMD=∠EMD=90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AD=BC=4，∠BAD=90°，
∴∠ADB=∠CBD，
∴∠NBD=∠ADB，
∴BN=DN，
设AN=x，则BN=DN=4﹣x，
∵在Rt△ABN中，AB2+AN2=BN2，
∴32+x2=(4﹣x)2，
∴x= ，
即AN= ，
∵C′D=CD=AB=3，∠BAD=∠C′=90°，∠ANB=∠C′ND，
∴△ANB≌△C′ND(AAS)，
∴∠FDM=∠ABN，
∴tan∠FDM=tan∠ABN，
∴ ，
∴ ，
∴MF= ，
由折叠的性质可得：EF⊥AD，
∴EF∥AB，
∵AM=DM，
∴ME= AB= ，
∴EF=ME+MF= + = .
故答案为： .
三、解答题(本大题共8小题，共57分)
22.(1)先化简，再求值：(x+1)2+x(2﹣x)，其中x=
(2)解不等式组 ，并把解集表示在数轴上.
【考点】整式的混合运算—化简求值;在数轴上表示不等式的解集;解一元一次不等式组.
【分析】(1)先算乘法，再合并同类项，最后代入求出即可;
(2)先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，最后在数轴上表示出来即可.
【解答】解：(1)原式=x2+2x+1+2x﹣x2
=4x+1，
当x= 时，原式=4 +1;
(2)
∵解不等式①：x<4，
解不等式②：x<3，
∴原不等式组的解集是：x<3，
原不等式组的解集在数轴上表示为： .
23.如图，C是AB的中点，AD=BE，CD=CE.求证：∠A=∠B.
【考点】全等三角形的判定与性质.
【分析】根据中点定义求出AC=BC，然后利用“SSS”证明△ACD和△BCE全等，再根据全等三角形对应角相等证明即可.
【解答】证明：∵C是AB的中点，
∴AC=BC，
在△ACD和△BCE中， ，
∴△ACD≌△BCE(SSS)，
∴∠A=∠B.
24.如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠A=45°，BD是直径，且BC=2，连接CD，求BD的长.
【考点】三角形的外接圆与外心.
【分析】根据圆周角定理求出∠D=∠A=45°，BD是直径，根据勾股定理计算即可.
【解答】解：∵∠A和∠D所对的弧都是弧BC，
∴∠D=∠A=45°，
∵BD是直径，
∴∠DCB=90°，
∴∠D=∠DBC=45°，
∴CB=CD=2，
由勾股定理得：BD= =2 .
25.如图，要利用一面墙(墙长为25米)建羊圈，用100米的围栏围成总面积为400平方米的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长AB，BC各为多少米?
【考点】一元二次方程的应用.
【分析】设AB的长度为x米，则BC的长度为米;然后根据矩形的面积公式列出方程.
【解答】解：设AB的长度为x米，则BC的长度为米.
根据题意得 x=400，
解得 x1=20，x2=5.
则100﹣4x=20或100﹣4x=80.
∵80>25，
∴x2=5舍去.
即AB=20，BC=20.
答：羊圈的边长AB，BC分别是20米、20米.
26.商店只有雪碧、可乐、果汁、奶汁四种饮料，某同学去该店购买饮料，每种饮料被选中的可能性相同.
(1)若他去买一瓶饮料，则他买到奶汁的概率是多少?
(2)若他两次去买饮料，每次买一瓶，且两次所买饮料品种不同，请用树状图或列表法求出他恰好买到雪碧和奶汁的概率.
【考点】列表法与树状图法.
【分析】(1)由商店只有雪碧、可乐、果汁、奶汁四种饮料，每种饮料数量充足，某同学去该店购买饮料，每种饮料被选中的可能性相同，直接利用概率公式求解即可求得答案;
(2)首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与他恰好买到雪碧和奶汁的情况，再利用概率公式即可求得答案.
【解答】解：(1)∵商店只有雪碧、可乐、果汁、奶汁四种饮料，每种饮料数量充足，某同学去该店购买饮料，每种饮料被选中的可能性相同，
∴他去买一瓶饮料，则他买到奶汁的概率是： ;
(2)画树状图得：
∵共有12种等可能的结果，他恰好买到雪碧和奶汁的有2种情况，
∴他恰好买到雪碧和奶汁的概率为： = .
27.如图1，已知双曲线y= (k>0)与直线y=k′x交于A、B两点，点A在第一象限，试回答下列问题：
(1)若点A的坐标为(3，1)，则点B的坐标为 (﹣3，﹣1) ;当x满足： ﹣3≤x<0或x≥3 时， ≤k′x;
(2)如图2，过原点O作另一条直线l，交双曲线y= (k>0)于P，Q两点，点P在第一象限.
①四边形APBQ一定是 平行四边形 ;
②若点A的坐标为(3，1)，点P的横坐标为1，求四边形APBQ的面积.
(3)设点A，P的横坐标分别为m，n，四边形APBQ可能是矩形吗?可能是正方形吗?若可能，直接写出m，n应满足的条件;若不可能，请说明理由.
【考点】反比例函数综合题.
【分析】(1)根据正比例函数与反比例函数的图象的交点关于原点对称，即可解决问题，利用图象根据正比例函数的图象在反比例函数的图象的上方，即可确定自变量x的范围.
(2)①利用对角线互相平分的四边形是平行四边形证明即可.
②利用分割法求面积即可.
(3)根据矩形的性质、正方形的性质即可判定.
【解答】解：(1)∵A、B关于原点对称，A(3，1)，
∴点B的坐标为(﹣3，﹣1).
由图象可知，当﹣3≤x<0或x≥3时， ≤k′x.
故答案为(﹣3，﹣1)，﹣3≤x<0或x≥3
(2)①∵A、B关于原点对称，P、Q关于原点对称，
∴OA=OB，OP=OQ，
∴四边形APBQ是平行四边形.
故答案为：平行四边形;
②∵点A的坐标为(3，1)，
∴k=3×1=3，
∴反比例函数的解析式为y= ，
∵点P的横坐标为1，
∴点P的纵坐标为3，
∴点P的坐标为(1，3)，
由双曲线关于原点对称可知，点Q的坐标为(﹣1，﹣3)，点B的坐标为(﹣3，﹣1)，
如图2，过点A、B分别作y轴的平行线，过点P、Q分别作x轴的平行线，分别交于C、D、E、F，
则四边形CDEF是矩形，
CD=6，DE=6，DB=DP=4，CP=CA=2，
则四边形APBQ的面积=矩形CDEF的面积﹣△ACP的面积﹣△PDB的面积﹣△BEQ的面积﹣△AFQ的面积
=36﹣2﹣8﹣2﹣8
=16.
(3)mn=k时，四边形APBQ是矩形，
不可能是正方形.
理由：当AB⊥PQ时四边形APBQ是正方形，此时点A、P在坐标轴上，由于点A，P可能达到坐标轴故不可能是正方形，即∠POA≠90°.
28.如图，△ABC和△ADE是有公共顶点的等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，点P为射线BD，CE的交点.
(1)求证：BD=CE;
(2)若AB=2，AD=1，把△ADE绕点A旋转，
①当∠EAC=90°时，求PB的长;
②直接写出旋转过程中线段PB长的最小值与最大值.
【考点】三角形综合题.
【分析】(1)欲证明BD=CE，只要证明△ABD≌△ACE即可.
(2)①分两种情形a、如图2中，当点E在AB上时，BE=AB﹣AE=1.由△PEB∽△AEC，得 = ，由此即可解决问题.b、如图3中，当点E在BA延长线上时，BE=3.解法类似.
②a、如图4中，以A为圆心AD为半径画圆，当CE在⊙A下方与⊙A相切时，PB的值最小.b、如图5中，以A为圆心AD为半径画圆，当CE在⊙A上方与⊙A相切时，PB的值最大.分别求出PB即可.
【解答】(1)证明：如图1中，
∵△ABC和△ADE是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，
∴AB=AC，AD=AE，∠DAB=∠CAE，
在△ADB和△AEC中，
∴△ADB≌△AEC，
∴BD=CE.
(2)①解：a、如图2中，当点E在AB上时，BE=AB﹣AE=1.
∵∠EAC=90°，
∴CE= = ，
同(1)可证△ADB≌△AEC.
∴∠DBA=∠ECA.
∵∠PEB=∠AEC，
∴△PEB∽△AEC.
∴ = ，
∴ = ，
∴PB=
b、如图3中，当点E在BA延长线上时，BE=3.
∵∠EAC=90°，
∴CE= = ，
同(1)可证△ADB≌△AEC.
∴∠DBA=∠ECA.
∵∠BEP=∠CEA，
∴△PEB∽△AEC，
∴ = ，
∴ = ，
∴PB= ，
综上，PB= 或 .
②解：a、如图4中，以A为圆心AD为半径画圆，当CE在⊙A下方与⊙A相切时，PB的值最小.
理由：此时∠BCE最小，因此PB最小，(△PBC是直角三角形，斜边BC为定值，∠BCE最小，因此PB最小)
∵AE⊥EC，
∴EC= = = ，
由(1)可知，△ABD≌△ACE，
∴∠ADB=∠AEC=90°，BD=CE= ，
∴∠ADP=∠DAE=∠AEP=90°，
∴四边形AEPD是矩形，
∴PD=AE=1，
∴PB=BD﹣PD= ﹣1.
b、如图5中，以A为圆心AD为半径画圆，当CE在⊙A上方与⊙A相切时，PB的值最大.
理由：此时∠BCE最大，因此PB最大，(△PBC是直角三角形，斜边BC为定值，∠BCE最大，因此PB最大)
∵AE⊥EC，
∴EC= = = ，
由(1)可知，△ABD≌△ACE，
∴∠ADB=∠AEC=90°，BD=CE= ，
∴∠ADP=∠DAE=∠AEP=90°，
∴四边形AEPD是矩形，
∴PD=AE=1，
∴PB=BD+PD= +1.
综上所述，PB长的最小值是 ﹣1，最大值是 +1.
29.如图，二次函数y= x2+bx﹣ 的图象与x轴交于点A(﹣3，0)和点B，以AB为边在x轴上方作正方形ABCD，点P是x轴上一动点，连接DP，过点P作DP的垂线与y轴交于点E.
(1)请直接写出点D的坐标： (﹣3，4) ;
(2)当点P在线段AO(点P不与A、O重合)上运动至何处时，线段OE的长有最大值，求出这个最大值;
(3)是否存在这样的点P，使△PED是等腰三角形?若存在，请求出点P的坐标及此时△PED与正方形ABCD重叠部分的面积;若不存在，请说明理由.
【考点】二次函数综合题.
【分析】(1)将点A的坐标代入二次函数的解析式求得其解析式，然后求得点B的坐标即可求得正方形ABCD的边长，从而求得点D的纵坐标;
(2)PA=t，OE=l，利用△DAP∽△POE得到比例式，从而得到有关两个变量的二次函数，求最值即可;
(3)分点P位于y轴左侧和右侧两种情况讨论即可得到重叠部分的面积.
【解答】解：(1)(﹣3，4);
(2)设PA=t，OE=l
由∠DAP=∠POE=∠DPE=90°得△DAP∽△POE
∴
∴l=﹣ + =﹣ (t﹣ )2+
∴当t= 时，l有最大值
即P为AO中点时，OE的最大值为 ;
(3)存在.
①点P点在y轴左侧时，DE交AB于点G，
P点的坐标为(﹣4，0)，
∴PA=OP﹣AO=4﹣3=1，
由△PAD≌△EOP得OE=PA=1
∵△ADG∽△OEG
∴AG：GO=AD：OE=4：1
∴AG= =
∴重叠部分的面积= =
②当P点在y轴右侧时，P点的坐标为(4，0)，
此时重叠部分的面积为