2017南宁数学中考模拟试卷及答案
2017南宁数学中考模拟试卷
一、选择题(本题共10个小题，每小题4分，共40分)
1.已知5x=6y(y≠0)，那么下列比例式中正确的是( )
A. B. C. D.
2.在下面的四个几何体中，它们各自的主视图与左视图可能不相同的是( )
A. B. C. D.
3.方程x2=3x的解为( )
A.x=3 B.x=0 C.x1=0，x2=﹣3 D.x1=0，x2=3
4.若将抛物线y=x2向右平移2个单位，再向上平移3个单位，则得到的抛物线解析式是( )
A.y=(x﹣2)2﹣3 B.y=(x﹣2)2+3 C.y=(x+2)2﹣3 D.y=(x+2)2+3
5.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，则下列结论不正确的是( )
A. B. C. D.
6.如图，A、D是⊙O上的两个点，BC是直径，若∠D=32°，则∠OAC等于( )
A.64° B.58° C.68° D.55°
7.如图，以点O为位似中心，将△ABC放大得到△DEF.若AD=OA，则△ABC与△DEF的面积之比为( )
A.1：2 B.1：4 C.1：5 D.1：6
8.如图，已知反比例函数y= (x>0)，则k的取值范围是( )
A.1
9.如图，⊙O的半径为2，点O到直线l的距离为3，点P是直线l上的一个动点，PQ切⊙O于点Q，则PQ的最小值为( )
A. B. C.3 D.2
10.如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC=6，BD=8，动点P从点B出发，沿着B﹣A﹣D在菱形ABCD的边上运动，运动到点D停止，点P′是点P关于BD的对称点，PP′交BD于点M，若BM=x，△OPP′的面积为y，则y与x之间的函数图象大致为( )
A. B. C. D.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
11.计算：tan45°﹣2cos60°= .
12.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，⊙O的半径为2，∠B=135°，则 的长 .
13.在△ABC中，D为AB边上一点，且∠BCD=∠A，已知BC=2 ，AB=3，则AD= .
14.二次函数y=ax2+bx+c(a，b，c为常数，且a≠0)中的x与y的部分对应值如表
x ﹣1 0 1 3
y ﹣1 3 5 3
下列结论：①ac<0;②当x>1时，y的值随x值的增大而减小.
③当x=2时，y=5;④3是方程ax2+(b﹣1)x+c=0的一个根;
其中正确的有 .(填正确结论的序号)
三、解答题(本大题共2小题，共16分)
15.解方程：x(x﹣4)=1.
16.如图，在小正方形组成的网格中，△ABC和△DEF的顶点都在格点上，根据图形解答下列问题：
(1)将△ABC向左平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度，画出平移后的△A1B1C1;
(2)将△DEF绕D点逆时针旋转90°，画出旋转后的△DE1F1.
四、(共2小题，满分16分)
17.某条道路上通行车辆限速为60千米/时，在离道路50米的点P处建一个监测点，道路AB段为检测区(如图).在△ABP中，已知∠PAB=30°，∠PBA=45°，那么车辆通过AB段的时间在多少秒以内时，可认定为超速(精确到0.1秒)?(参考数据： ≈1.41， ≈1.73，60千米/时= 米/秒)
18.如图，我们把一个半圆与抛物线的一部分围成的封闭图形称为“果圆”，已知点A、B、C、D分别是“果圆”与坐标轴的交点，AB为半圆的直径，抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣3，求这个“果圆”被y轴截得线段CD的长 .
五、(共2小题，满分20分)
19.某电视台在它的娱乐性节目中每期抽出两名场外幸运观众，有一期甲、乙两人被抽为场外幸运观众，他们获得了一次抽奖的机会，在如图所示的翻奖牌的正面4个数字中任选一个，选中后翻开，可以得到该数字反面的奖品，第一个人选中的数字第二个人不能再选择了.
(1)如果甲先抽奖，那么甲获得“手机”的概率是多少?
(2)小亮同学说：甲先抽奖，乙后抽奖，甲、乙两人获得“手机”的概率不同，且甲获得“手机”的概率更大些.你同意小亮同学的说法吗?为什么?请用列表或画树状图分析.
20.某养殖户每年的养殖成本包括固定成本和可变成本，其中固定成本每年均为4万元，可变成本逐年增长，已知该养殖户第1年的可变成本为2.6万元，设可变成本平均每年增长的百分率为x.
(1)用含x的代数式表示第3年的可变成本为 万元;
(2)如果该养殖户第3年的养殖成本为7.146万元，求可变成本平均每年增长的百分率x.
六、(满分12分)
21.如图，在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，点D为三角形内一点，且∠ACD=∠DAB=∠DBC.
(1)求∠CDB的度数;
(2)求证：△DCA∽△DAB;
(3)若CD的长为1，求AB的长.
七、(满分12分)
22.2016年里约奥运会，中国跳水队赢得8个项目中的7块金牌，优秀成绩的取得离不开艰辛的训练.某跳水运动员在进行跳水训练时，身体(看成一点)在空中的运动路线是如图所示的一条抛物线，已知跳板AB长为2米，跳板距水面CD的高BC为3米，训练时跳水曲线在离起跳点水平距离1米时达到距水面最大高度k米，现以CD为横轴，CB为纵轴建立直角坐标系.
(1)当k=4时，求这条抛物线的解析式;
(2)当k=4时，求运动员落水点与点C的距离;
(3)图中CE= 米，CF= 米，若跳水运动员在区域EF内(含点E，F)入水时才能达到训练要求，求k的取值范围.
八、(满分14分)
23.[发现]如图∠ACB=∠ADB=90°，那么点D在经过A，B，C三点的圆上(如图①)
[思考]如图②，如果∠ACB=∠ADB=a(a≠90°)(点C，D在AB的同侧)，那么点D还在经过A，B，C三点的⊙O上吗?
我们知道，如果点D不在经过A，B，C三点的圆上，那么点D要么在⊙O外，要么在⊙O内，以下该同学的想法说明了点D不在⊙O外.请结合图④证明点D也不在⊙O内.
【证】
[结论]综上可得结论，如果∠ACB=∠ADB=α(点C，D在AB的同侧)，那么点D在经过A，B，C三点的圆上，即：A、B、C、D四点共圆.
[应用]利用上述结论解决问题：
如图⑤，已知△ABC中，∠C=90°，将△ACB绕点A顺时针旋转α度(α为锐角)得△ADE，连接BE、CD，延长CD交BE于点F;
(1)用含α的代数式表示∠ACD的度数;
(2)求证：点B、C、A、F四点共圆;
(3)求证：点F为BE的中点.
2017南宁数学中考模拟试卷答案
一、选择题(本题共10个小题，每小题4分，共40分)
1.已知5x=6y(y≠0)，那么下列比例式中正确的是( )
A. B. C. D.
【考点】比例的性质.
【分析】比例的基本性质：组成比例的四个数，叫做比例的项.两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项，根据两内项之积等于两外项之积可得答案.
【解答】解：A、 = ，则5y=6x，故此选项错误;
B、 = ，则5x=6y，故此选项正确;
C、 = ，则5y=6x，故此选项错误;
D、 = ，则xy=30，故此选项错误;
故选：B.
2.在下面的四个几何体中，它们各自的主视图与左视图可能不相同的是( )
A. B. C. D.
【考点】简单几何体的三视图.
【分析】分别分析四个选项的三视图，然后得出结论.
【解答】解：A选项的主视图与左视图分别是正方形和长方形;
B选项的主视图与左视图都是正方形;
C选项的主视图与左视图都是矩形;
D选项的主视图与左视图都是圆.
故选A.
3.方程x2=3x的解为( )
A.x=3 B.x=0 C.x1=0，x2=﹣3 D.x1=0，x2=3
【考点】解一元二次方程﹣因式分解法.
【分析】因式分解法求解可得.
【解答】解：∵x2﹣3x=0，
∴x(x﹣3)=0，
则x=0或x﹣3=0，
解得：x=0或x=3，
故选：D.
4.若将抛物线y=x2向右平移2个单位，再向上平移3个单位，则得到的抛物线解析式是( )
A.y=(x﹣2)2﹣3 B.y=(x﹣2)2+3 C.y=(x+2)2﹣3 D.y=(x+2)2+3
【考点】二次函数图象与几何变换.
【分析】根据向右平移横坐标加，向上平移纵坐标加求出平移后的抛物线的顶点坐标，然后利用顶点式解析式写出即可.
【解答】解：∵抛物线y=x2向右平移2个单位，再向上平移3个单位，
∴平移后的抛物线顶点坐标为(2，3)，
∴得到的抛物线解析式是y=(x﹣2)2+3.
故选B.
5.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，则下列结论不正确的是( )
A. B. C. D.
【考点】锐角三角函数的定义.
【分析】根据锐角三角函数的定义，即可解答.
【解答】解：在Rt△ABC中，∠BAC=90°，sinB= ，
∵AD⊥BC，
∴sinB= ，
sinB=sin∠DAC= ，
综上，只有C不正确
故选：C.
6.如图，A、D是⊙O上的两个点，BC是直径，若∠D=32°，则∠OAC等于( )
A.64° B.58° C.68° D.55°
【考点】圆周角定理.
【分析】先根据圆周角定理求出∠B及∠BAC的度数，再由等腰三角形的性质求出∠OAB的度数，进而可得出结论.
【解答】解：∵BC是直径，∠D=32°，
∴∠B=∠D=32°，∠BAC=90°.
∵OA=OB，
∴∠BAO=∠B=32°，
∴∠OAC=∠BAC﹣∠BAO=90°﹣32°=58°.
故选B.
7.如图，以点O为位似中心，将△ABC放大得到△DEF.若AD=OA，则△ABC与△DEF的面积之比为( )
A.1：2 B.1：4 C.1：5 D.1：6
【考点】位似变换.
【分析】利用位似图形的性质首先得出位似比，进而得出面积比.
【解答】解：∵以点O为位似中心，将△ABC放大得到△DEF，AD=OA，
∴OA：OD=1：2，
∴△ABC与△DEF的面积之比为：1：4.
故选：B.
8.如图，已知反比例函数y= (x>0)，则k的取值范围是( )
A.1
【考点】反比例函数系数k的几何意义.
【分析】直接根据A、B两点的坐标即可得出结论.
【解答】解：∵A(2，2)，B(2，1)，
∴当双曲线经过点A时，k=2×2=4;
当双曲线经过点B时，k=2×1=2，
∴2
故选C.
9.如图，⊙O的半径为2，点O到直线l的距离为3，点P是直线l上的一个动点，PQ切⊙O于点Q，则PQ的最小值为( )
A. B. C.3 D.2
【考点】切线的性质.
【分析】因为PQ为切线，所以△OPQ是Rt△.又OQ为定值，所以当OP最小时，PQ最小.根据垂线段最短，知OP=3时PQ最小.根据勾股定理得出结论即可.
【解答】解：∵PQ切⊙O于点Q，
∴∠OQP=90°，
∴PQ2=OP2﹣OQ2，
而OQ=2，
∴PQ2=OP2﹣4，即PQ= ，
当OP最小时，PQ最小，
∵点O到直线l的距离为3，
∴OP的最小值为3，
∴PQ的最小值为 = .
故选B.
10.如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC=6，BD=8，动点P从点B出发，沿着B﹣A﹣D在菱形ABCD的边上运动，运动到点D停止，点P′是点P关于BD的对称点，PP′交BD于点M，若BM=x，△OPP′的面积为y，则y与x之间的函数图象大致为( )
A. B. C. D.
【考点】动点问题的函数图象.
【分析】由菱形的性质得出AB=BC=CD=DA，OA= AC=3，OB= BD=4，AC⊥BD，分两种情况：
①当BM≤4时，先证明△P′BP∽△CBA，得出比例式 ，求出PP′，得出△OPP′的面积y是关于x的二次函数，即可得出图象的情形;
②当BM≥4时，y与x之间的函数图象的形状与①中的相同;即可得出结论.
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=DA，OA= AC=3，OB= BD=4，AC⊥BD，
①当BM≤4时，
∵点P′与点P关于BD对称，
∴P′P⊥BD，
∴P′P∥AC，
∴△P′BP∽△CBA，
∴ ，即 ，
∴PP′= x，
∵OM=4﹣x，
∴△OPP′的面积y= PP′•OM= × x(4﹣x)=﹣ x2+3x;
∴y与x之间的函数图象是抛物线，开口向下，过(0，0)和(4，0);
②当BM≥4时，y与x之间的函数图象的形状与①中的相同，过(4，0)和(8，0);
综上所述：y与x之间的函数图象大致为 .
故选：D.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
11.计算：tan45°﹣2cos60°= 0 .
【考点】特殊角的三角函数值.
【分析】把特殊角的三角函数值代入，再计算乘法，后计算加减法即可.
【解答】解：原式=1﹣2× ，
=1﹣1，
=0.
故答案为：0.
12.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，⊙O的半径为2，∠B=135°，则 的长 π .
【考点】弧长的计算;圆内接四边形的性质.
【分析】连接OA、OC，然后根据圆周角定理求得∠AOC的度数，最后根据弧长公式求解.
【解答】解：连接OA、OC，
∵∠B=135°，
∴∠D=180°﹣135°=45°，
∴∠AOC=90°，
则 的长= =π.
故答案为：π.
13.在△ABC中，D为AB边上一点，且∠BCD=∠A，已知BC=2 ，AB=3，则AD= .
【考点】相似三角形的判定与性质.
【分析】证明△DCB≌△CAB，得 ，可求出BD的长，进而可求出AD的长，由此即可解决问题即可.
【解答】解：∵∠BCD=∠A，∠B=∠B，
∴△DCB～△CAB，
∴ ，
∴ = ，
∴BD= ，
∴AD=AB﹣BD= ，
故答案为： .
14.二次函数y=ax2+bx+c(a，b，c为常数，且a≠0)中的x与y的部分对应值如表
x ﹣1 0 1 3
y ﹣1 3 5 3
下列结论：①ac<0;②当x>1时，y的值随x值的增大而减小.
③当x=2时，y=5;④3是方程ax2+(b﹣1)x+c=0的一个根;
其中正确的有 ①③④ .(填正确结论的序号)
【考点】待定系数法求二次函数解析式;解一元二次方程﹣因式分解法.
【分析】根据点的坐标利用待定系数法即可求出二次函数解析式，再根据二次函数的解析式逐一分析四条结论的正误即可得出结论.
【解答】解：将(﹣1，﹣1)、(0，3)、(1，5)代入y=ax2+bx+c，
，解得： ，
∴二次函数的解析式为y=﹣x2+3x+3.
①ac=﹣1×3=﹣3<0，
∴结论①符合题意;
②∵y=﹣x2+3x+3=﹣ + ，
∴当x> 时，y的值随x值的增大而减小，
∴结论②不符合题意;
③当x=2时，y=﹣22+3×2+3=5，
∴结论③符合题意;
④ax2+(b﹣1)x+c=﹣x2+2x+3=(x+1)(﹣x+3)=0，
∴x=3是方程ax2+(b﹣1)x+c=0的一个根，
∴结论④符合题意.
故答案为：①③④.
三、解答题(本大题共2小题，共16分)
15.解方程：x(x﹣4)=1.
【考点】解一元二次方程﹣配方法.
【分析】先把方程化为x2﹣4x=1，再利用配方法得到( x﹣2)2=5，然后利用直接开平方法解方程.
【解答】解：x2﹣4x=1，
x2﹣4x+4=5，
( x﹣2)2=5，
x﹣2=± ，
所以x1=2+ ，x2=2﹣ .
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