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2017南宁数学中考模拟试卷及答案

时间: 漫柔2 中考数学

  2017南宁数学中考模拟试卷

  一、选择题(本题共10个小题,每小题4分,共40分)

  1.已知5x=6y(y≠0),那么下列比例式中正确的是(  )

  A. B. C. D.

  2.在下面的四个几何体中,它们各自的主视图与左视图可能不相同的是(  )

  A. B. C. D.

  3.方程x2=3x的解为(  )

  A.x=3 B.x=0 C.x1=0,x2=﹣3 D.x1=0,x2=3

  4.若将抛物线y=x2向右平移2个单位,再向上平移3个单位,则得到的抛物线解析式是(  )

  A.y=(x﹣2)2﹣3 B.y=(x﹣2)2+3 C.y=(x+2)2﹣3 D.y=(x+2)2+3

  5.如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC于点D,则下列结论不正确的是(  )

  A. B. C. D.

  6.如图,A、D是⊙O上的两个点,BC是直径,若∠D=32°,则∠OAC等于(  )

  A.64° B.58° C.68° D.55°

  7.如图,以点O为位似中心,将△ABC放大得到△DEF.若AD=OA,则△ABC与△DEF的面积之比为(  )

  A.1:2 B.1:4 C.1:5 D.1:6

  8.如图,已知反比例函数y= (x>0),则k的取值范围是(  )

  A.1

  9.如图,⊙O的半径为2,点O到直线l的距离为3,点P是直线l上的一个动点,PQ切⊙O于点Q,则PQ的最小值为(  )

  A. B. C.3 D.2

  10.如图,菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,AC=6,BD=8,动点P从点B出发,沿着B﹣A﹣D在菱形ABCD的边上运动,运动到点D停止,点P′是点P关于BD的对称点,PP′交BD于点M,若BM=x,△OPP′的面积为y,则y与x之间的函数图象大致为(  )

  A. B. C. D.

  二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)

  11.计算:tan45°﹣2cos60°=  .

  12.如图,四边形ABCD是⊙O的内接四边形,⊙O的半径为2,∠B=135°,则 的长  .

  13.在△ABC中,D为AB边上一点,且∠BCD=∠A,已知BC=2 ,AB=3,则AD=  .

  14.二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,且a≠0)中的x与y的部分对应值如表

  x ﹣1 0 1 3

  y ﹣1 3 5 3

  下列结论:①ac<0;②当x>1时,y的值随x值的增大而减小.

  ③当x=2时,y=5;④3是方程ax2+(b﹣1)x+c=0的一个根;

  其中正确的有  .(填正确结论的序号)

  三、解答题(本大题共2小题,共16分)

  15.解方程:x(x﹣4)=1.

  16.如图,在小正方形组成的网格中,△ABC和△DEF的顶点都在格点上,根据图形解答下列问题:

  (1)将△ABC向左平移4个单位长度,再向下平移2个单位长度,画出平移后的△A1B1C1;

  (2)将△DEF绕D点逆时针旋转90°,画出旋转后的△DE1F1.

  四、(共2小题,满分16分)

  17.某条道路上通行车辆限速为60千米/时,在离道路50米的点P处建一个监测点,道路AB段为检测区(如图).在△ABP中,已知∠PAB=30°,∠PBA=45°,那么车辆通过AB段的时间在多少秒以内时,可认定为超速(精确到0.1秒)?(参考数据: ≈1.41, ≈1.73,60千米/时= 米/秒)

  18.如图,我们把一个半圆与抛物线的一部分围成的封闭图形称为“果圆”,已知点A、B、C、D分别是“果圆”与坐标轴的交点,AB为半圆的直径,抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣3,求这个“果圆”被y轴截得线段CD的长  .

  五、(共2小题,满分20分)

  19.某电视台在它的娱乐性节目中每期抽出两名场外幸运观众,有一期甲、乙两人被抽为场外幸运观众,他们获得了一次抽奖的机会,在如图所示的翻奖牌的正面4个数字中任选一个,选中后翻开,可以得到该数字反面的奖品,第一个人选中的数字第二个人不能再选择了.

  (1)如果甲先抽奖,那么甲获得“手机”的概率是多少?

  (2)小亮同学说:甲先抽奖,乙后抽奖,甲、乙两人获得“手机”的概率不同,且甲获得“手机”的概率更大些.你同意小亮同学的说法吗?为什么?请用列表或画树状图分析.

  20.某养殖户每年的养殖成本包括固定成本和可变成本,其中固定成本每年均为4万元,可变成本逐年增长,已知该养殖户第1年的可变成本为2.6万元,设可变成本平均每年增长的百分率为x.

  (1)用含x的代数式表示第3年的可变成本为  万元;

  (2)如果该养殖户第3年的养殖成本为7.146万元,求可变成本平均每年增长的百分率x.

  六、(满分12分)

  21.如图,在等腰直角△ABC中,∠ACB=90°,点D为三角形内一点,且∠ACD=∠DAB=∠DBC.

  (1)求∠CDB的度数;

  (2)求证:△DCA∽△DAB;

  (3)若CD的长为1,求AB的长.

  七、(满分12分)

  22.2016年里约奥运会,中国跳水队赢得8个项目中的7块金牌,优秀成绩的取得离不开艰辛的训练.某跳水运动员在进行跳水训练时,身体(看成一点)在空中的运动路线是如图所示的一条抛物线,已知跳板AB长为2米,跳板距水面CD的高BC为3米,训练时跳水曲线在离起跳点水平距离1米时达到距水面最大高度k米,现以CD为横轴,CB为纵轴建立直角坐标系.

  (1)当k=4时,求这条抛物线的解析式;

  (2)当k=4时,求运动员落水点与点C的距离;

  (3)图中CE= 米,CF= 米,若跳水运动员在区域EF内(含点E,F)入水时才能达到训练要求,求k的取值范围.

  八、(满分14分)

  23.[发现]如图∠ACB=∠ADB=90°,那么点D在经过A,B,C三点的圆上(如图①)

  [思考]如图②,如果∠ACB=∠ADB=a(a≠90°)(点C,D在AB的同侧),那么点D还在经过A,B,C三点的⊙O上吗?

  我们知道,如果点D不在经过A,B,C三点的圆上,那么点D要么在⊙O外,要么在⊙O内,以下该同学的想法说明了点D不在⊙O外.请结合图④证明点D也不在⊙O内.

  【证】

  [结论]综上可得结论,如果∠ACB=∠ADB=α(点C,D在AB的同侧),那么点D在经过A,B,C三点的圆上,即:A、B、C、D四点共圆.

  [应用]利用上述结论解决问题:

  如图⑤,已知△ABC中,∠C=90°,将△ACB绕点A顺时针旋转α度(α为锐角)得△ADE,连接BE、CD,延长CD交BE于点F;

  (1)用含α的代数式表示∠ACD的度数;

  (2)求证:点B、C、A、F四点共圆;

  (3)求证:点F为BE的中点.

  2017南宁数学中考模拟试卷答案

  一、选择题(本题共10个小题,每小题4分,共40分)

  1.已知5x=6y(y≠0),那么下列比例式中正确的是(  )

  A. B. C. D.

  【考点】比例的性质.

  【分析】比例的基本性质:组成比例的四个数,叫做比例的项.两端的两项叫做比例的外项,中间的两项叫做比例的内项,根据两内项之积等于两外项之积可得答案.

  【解答】解:A、 = ,则5y=6x,故此选项错误;

  B、 = ,则5x=6y,故此选项正确;

  C、 = ,则5y=6x,故此选项错误;

  D、 = ,则xy=30,故此选项错误;

  故选:B.

  2.在下面的四个几何体中,它们各自的主视图与左视图可能不相同的是(  )

  A. B. C. D.

  【考点】简单几何体的三视图.

  【分析】分别分析四个选项的三视图,然后得出结论.

  【解答】解:A选项的主视图与左视图分别是正方形和长方形;

  B选项的主视图与左视图都是正方形;

  C选项的主视图与左视图都是矩形;

  D选项的主视图与左视图都是圆.

  故选A.

  3.方程x2=3x的解为(  )

  A.x=3 B.x=0 C.x1=0,x2=﹣3 D.x1=0,x2=3

  【考点】解一元二次方程﹣因式分解法.

  【分析】因式分解法求解可得.

  【解答】解:∵x2﹣3x=0,

  ∴x(x﹣3)=0,

  则x=0或x﹣3=0,

  解得:x=0或x=3,

  故选:D.

  4.若将抛物线y=x2向右平移2个单位,再向上平移3个单位,则得到的抛物线解析式是(  )

  A.y=(x﹣2)2﹣3 B.y=(x﹣2)2+3 C.y=(x+2)2﹣3 D.y=(x+2)2+3

  【考点】二次函数图象与几何变换.

  【分析】根据向右平移横坐标加,向上平移纵坐标加求出平移后的抛物线的顶点坐标,然后利用顶点式解析式写出即可.

  【解答】解:∵抛物线y=x2向右平移2个单位,再向上平移3个单位,

  ∴平移后的抛物线顶点坐标为(2,3),

  ∴得到的抛物线解析式是y=(x﹣2)2+3.

  故选B.

  5.如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC于点D,则下列结论不正确的是(  )

  A. B. C. D.

  【考点】锐角三角函数的定义.

  【分析】根据锐角三角函数的定义,即可解答.

  【解答】解:在Rt△ABC中,∠BAC=90°,sinB= ,

  ∵AD⊥BC,

  ∴sinB= ,

  sinB=sin∠DAC= ,

  综上,只有C不正确

  故选:C.

  6.如图,A、D是⊙O上的两个点,BC是直径,若∠D=32°,则∠OAC等于(  )

  A.64° B.58° C.68° D.55°

  【考点】圆周角定理.

  【分析】先根据圆周角定理求出∠B及∠BAC的度数,再由等腰三角形的性质求出∠OAB的度数,进而可得出结论.

  【解答】解:∵BC是直径,∠D=32°,

  ∴∠B=∠D=32°,∠BAC=90°.

  ∵OA=OB,

  ∴∠BAO=∠B=32°,

  ∴∠OAC=∠BAC﹣∠BAO=90°﹣32°=58°.

  故选B.

  7.如图,以点O为位似中心,将△ABC放大得到△DEF.若AD=OA,则△ABC与△DEF的面积之比为(  )

  A.1:2 B.1:4 C.1:5 D.1:6

  【考点】位似变换.

  【分析】利用位似图形的性质首先得出位似比,进而得出面积比.

  【解答】解:∵以点O为位似中心,将△ABC放大得到△DEF,AD=OA,

  ∴OA:OD=1:2,

  ∴△ABC与△DEF的面积之比为:1:4.

  故选:B.

  8.如图,已知反比例函数y= (x>0),则k的取值范围是(  )

  A.1

  【考点】反比例函数系数k的几何意义.

  【分析】直接根据A、B两点的坐标即可得出结论.

  【解答】解:∵A(2,2),B(2,1),

  ∴当双曲线经过点A时,k=2×2=4;

  当双曲线经过点B时,k=2×1=2,

  ∴2

  故选C.

  9.如图,⊙O的半径为2,点O到直线l的距离为3,点P是直线l上的一个动点,PQ切⊙O于点Q,则PQ的最小值为(  )

  A. B. C.3 D.2

  【考点】切线的性质.

  【分析】因为PQ为切线,所以△OPQ是Rt△.又OQ为定值,所以当OP最小时,PQ最小.根据垂线段最短,知OP=3时PQ最小.根据勾股定理得出结论即可.

  【解答】解:∵PQ切⊙O于点Q,

  ∴∠OQP=90°,

  ∴PQ2=OP2﹣OQ2,

  而OQ=2,

  ∴PQ2=OP2﹣4,即PQ= ,

  当OP最小时,PQ最小,

  ∵点O到直线l的距离为3,

  ∴OP的最小值为3,

  ∴PQ的最小值为 = .

  故选B.

  10.如图,菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,AC=6,BD=8,动点P从点B出发,沿着B﹣A﹣D在菱形ABCD的边上运动,运动到点D停止,点P′是点P关于BD的对称点,PP′交BD于点M,若BM=x,△OPP′的面积为y,则y与x之间的函数图象大致为(  )

  A. B. C. D.

  【考点】动点问题的函数图象.

  【分析】由菱形的性质得出AB=BC=CD=DA,OA= AC=3,OB= BD=4,AC⊥BD,分两种情况:

  ①当BM≤4时,先证明△P′BP∽△CBA,得出比例式 ,求出PP′,得出△OPP′的面积y是关于x的二次函数,即可得出图象的情形;

  ②当BM≥4时,y与x之间的函数图象的形状与①中的相同;即可得出结论.

  【解答】解:∵四边形ABCD是菱形,

  ∴AB=BC=CD=DA,OA= AC=3,OB= BD=4,AC⊥BD,

  ①当BM≤4时,

  ∵点P′与点P关于BD对称,

  ∴P′P⊥BD,

  ∴P′P∥AC,

  ∴△P′BP∽△CBA,

  ∴ ,即 ,

  ∴PP′= x,

  ∵OM=4﹣x,

  ∴△OPP′的面积y= PP′•OM= × x(4﹣x)=﹣ x2+3x;

  ∴y与x之间的函数图象是抛物线,开口向下,过(0,0)和(4,0);

  ②当BM≥4时,y与x之间的函数图象的形状与①中的相同,过(4,0)和(8,0);

  综上所述:y与x之间的函数图象大致为 .

  故选:D.

  二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)

  11.计算:tan45°﹣2cos60°= 0 .

  【考点】特殊角的三角函数值.

  【分析】把特殊角的三角函数值代入,再计算乘法,后计算加减法即可.

  【解答】解:原式=1﹣2× ,

  =1﹣1,

  =0.

  故答案为:0.

  12.如图,四边形ABCD是⊙O的内接四边形,⊙O的半径为2,∠B=135°,则 的长 π .

  【考点】弧长的计算;圆内接四边形的性质.

  【分析】连接OA、OC,然后根据圆周角定理求得∠AOC的度数,最后根据弧长公式求解.

  【解答】解:连接OA、OC,

  ∵∠B=135°,

  ∴∠D=180°﹣135°=45°,

  ∴∠AOC=90°,

  则 的长= =π.

  故答案为:π.

  13.在△ABC中,D为AB边上一点,且∠BCD=∠A,已知BC=2 ,AB=3,则AD=   .

  【考点】相似三角形的判定与性质.

  【分析】证明△DCB≌△CAB,得 ,可求出BD的长,进而可求出AD的长,由此即可解决问题即可.

  【解答】解:∵∠BCD=∠A,∠B=∠B,

  ∴△DCB~△CAB,

  ∴ ,

  ∴ = ,

  ∴BD= ,

  ∴AD=AB﹣BD= ,

  故答案为: .

  14.二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,且a≠0)中的x与y的部分对应值如表

  x ﹣1 0 1 3

  y ﹣1 3 5 3

  下列结论:①ac<0;②当x>1时,y的值随x值的增大而减小.

  ③当x=2时,y=5;④3是方程ax2+(b﹣1)x+c=0的一个根;

  其中正确的有 ①③④ .(填正确结论的序号)

  【考点】待定系数法求二次函数解析式;解一元二次方程﹣因式分解法.

  【分析】根据点的坐标利用待定系数法即可求出二次函数解析式,再根据二次函数的解析式逐一分析四条结论的正误即可得出结论.

  【解答】解:将(﹣1,﹣1)、(0,3)、(1,5)代入y=ax2+bx+c,

  ,解得: ,

  ∴二次函数的解析式为y=﹣x2+3x+3.

  ①ac=﹣1×3=﹣3<0,

  ∴结论①符合题意;

  ②∵y=﹣x2+3x+3=﹣ + ,

  ∴当x> 时,y的值随x值的增大而减小,

  ∴结论②不符合题意;

  ③当x=2时,y=﹣22+3×2+3=5,

  ∴结论③符合题意;

  ④ax2+(b﹣1)x+c=﹣x2+2x+3=(x+1)(﹣x+3)=0,

  ∴x=3是方程ax2+(b﹣1)x+c=0的一个根,

  ∴结论④符合题意.

  故答案为:①③④.

  三、解答题(本大题共2小题,共16分)

  15.解方程:x(x﹣4)=1.

  【考点】解一元二次方程﹣配方法.

  【分析】先把方程化为x2﹣4x=1,再利用配方法得到( x﹣2)2=5,然后利用直接开平方法解方程.

  【解答】解:x2﹣4x=1,

  x2﹣4x+4=5,

  ( x﹣2)2=5,

  x﹣2=± ,

  所以x1=2+ ,x2=2﹣ .

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