2017年鄂州中考数学模拟试题解析(2)
∴AC= = =12，
∵AD=DC，DF⊥AC，
∴AF=CF= AC=6，
∴点C关于DE的对称点是A，故E点与P点重合时△BCP的周长最小，
∴DP=DE，
∵DE⊥AC，BC⊥AC，
∴DE∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∴ ，即 = ，解得AE= ，
∵DE∥BC，
∴∠AED=∠ABC，
∵∠DAB=∠ACB=90°，
∴Rt△AED∽Rt△CBA，
∴ = ，即 = ，解得DE=12.5，即DP=12.5.
故答案为：12.5.
三、解答题
16.计算：( )﹣2﹣6sin30°﹣( )0+ +| ﹣ |
【考点】二次根式的混合运算;零指数幂;负整数指数幂;特殊角的三角函数值.
【分析】先算负指数幂，特殊角的三角函数值，0指数幂，以及绝对值，再算乘法，最后算加减，由此顺序计算即可.
【解答】解：原式=4﹣6× ﹣1+ ﹣ +
=4﹣3﹣1+
= .
17.化简： ，然后请自选一个你喜欢的x值，再求原式的值.
【考点】分式的化简求值.
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x=1代入计算即可求出值.
【解答】解：原式=[ ﹣ ]•
= •
= •
= ，
当x=1时，原式=1.
18.，线段AB绕某一点逆时针旋转一定的角度得到线段A'B'，利用尺规确定旋转中心.(不写作法，保留作图痕迹)
【考点】作图﹣旋转变换.
【分析】根据旋转的性质可知，旋转中心在对应点连线段的垂直平分线上.
【解答】解：点O为所求作，
19.兰州市某中学对本校初中学生完成家庭作业的时间做了总量控制，规定每天完成家庭作业的时间不超过1.5小时，该校数学课外兴趣小组对本校初中学生回家完成作业的时间做了一次随机抽样调查，并绘制出频数分布表和频数分布直方图()的一部分.
时间(小时) 频数(人数) 频率
0≤t<0.5 4 0.1
0.5≤t<1 a 0.3
1≤t<1.5 10 0.25
1.5≤t<2 8 b
2≤t<2.5 6 0.15
合计 1
(1)在图表中，a= 12 ，b= 0.2 ;
(2)补全频数分布直方图;
(3)请估计该校1400名初中学生中，约有多少学生在1.5小时以内完成了家庭作业.
【考点】频数(率)分布直方图;用样本估计总体;频数(率)分布表.
【分析】(1)根据每天完成家庭作业的时间在0≤t<0.5的频数和频率，求出抽查的总人数，再用总人数乘以每天完成家庭作业的时间在0.5≤t<1的频率，求出a，再用每天完成家庭作业的时间在1.5≤t<2的频率乘以总人数，求出b即可;
(2)根据(1)求出a的值，可直接补全统计图;
(3)用每天完成家庭作业时间在1.5小时以内的人数所占的百分比乘以该校的总人数，即可得出答案.
【解答】解：(1)抽查的总的人数是： =40(人)，
a=40×0.3=12(人)，
b= =0.2;
故答案为：12，0.2;
(2)根据(1)可得：每天完成家庭作业的时间在0.5≤t<1的人数是12，补图如下：
(3)根据题意得： ×1400=910(名)，
答：约有多少910名学生在1.5小时以内完成了家庭作业.
20.，在正方形ABCD和正方形ECGF中，连接BE，DG.求证：BE=DG.
【考点】正方形的性质;全等三角形的判定与性质.
【分析】根据正方形的性质得出BC=CD，CE=CG，∠BCD=∠ECG=90°，求出∠BCE=∠DCG，根据全等三角形的判定得出△EBC≌△GDC，根据全等三角形的性质得出即可.
【解答】证明：∵在正方形ABCD和正方形ECGF中，
∴BC=CD，CE=CG，∠BCD=∠ECG=90°，
∴∠BCE=∠DCG=90°﹣∠ECD，
在△EBC和△GDC中，
∴△EBC≌△GDC(SAS)，
∴BE=DG.
21.，一枚运载火箭从地面O处发射，当火箭到达A点时，从地面C处的雷达站测得AC的距离是6km，仰角是43°，1s后，火箭到达B点，此时测得仰角为45.5°，这枚火箭从点A到点B的平均速度是多少?(结果精确到0.01)
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题.
【分析】在Rt△AOC中，求出OA、OC，在Rt△BOC中求出OB，即可解决问题.
【解答】解：在Rt△OCA中，OA=AC•tan43°≈4.092，
OC=AC•cos43°
在Rt△OCA中，OB=OC•tan45.5°≈4.375，
v=(OB﹣OA)÷t=(4.375﹣4.092)÷1≈0.28(km/s)
答：火箭从A点到B点的平均速度约为0.28km/s.
22.我市某工艺品厂生产一款工艺品、已知这款工艺品的生产成本为每件60元.
经市场调研发现：该款工艺品每天的销售量y(件)与售价x(元)之间存在着如下表所示的一次函数关系.
售价x(元) … 70 90 …
销售量y(件) … 3000 1000 …
(利润=(售价﹣成本价)×销售量)
(1)求销售量y(件)与售价x(元)之间的函数关系式;
(2)你认为如何定价才能使工艺品厂每天获得的利润为40000元?
【考点】一次函数的应用;一元二次方程的应用.
【分析】(1)设一次函数的一般式y=kx+b，将(70，3000)(90，1000)代入即可求得;
(2)按照等量关系“利润=(定价﹣成本)×销售量”列出利润关于定价的函数方程，求解即可.
【解答】解：(1)设一次函数关系式为y=kx+b，根据题意得
解之得k=﹣100，b=10000
所以所求一次函数关系式为y=﹣100x+10000(x>0)
(2)由题意得(x﹣60)(﹣100x+10000)=40000
即x2﹣160x+6400=0，所以(x﹣80)2=0
所以x1=x2=80
答：当定价为80元时才能使工艺品厂每天获得的利润为40000元.
23.，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于A、B两点(点A在点B的左边)，与y轴交于点C(0，3)，顶点D的坐标为(﹣1，4).
(1)求抛物线的解析式;
(2)点M为线段AB上一点(点M不与点A、B重合)，过点M作x轴的垂线，与直线AC交于点E，与抛物线交于点P，过点P作PQ∥AB交抛物线于点Q，过点Q作QN⊥x轴于点N.若点P在点Q左边，当矩形PQMN的周长最大时，求△AEM的面积;
(3)在(2)的条件下，当矩形PMNQ的周长最大时，连接DQ.过抛物线上一点F作y轴的平行线，与直线AC交于点G(点G在点F的上方).若FG=2 DQ，请直接写出点F的坐标.
【考点】二次函数综合题.
【分析】(1)设出二次函数顶点式，将C(0，3)代入解析式得到a=﹣1，从而求出抛物线解析式.
(2)设M点横坐标为m，则PM=﹣m2﹣2m+3，MN=(﹣m﹣1)×2=﹣2m﹣2，矩形PMNQ的周长d=﹣2m2﹣8m+2，将﹣2m2﹣8m+2配方，根据二次函数的性质，即可得出m的值，然后求得直线AC的解析式，把x=m代入可以求得三角形的边长，从而求得三角形的面积.
(3)设F(n，﹣n2﹣2n+3)，根据已知若FG=2 DQ，即可求得.
【解答】解：(1)设函数解析式为y=a(x+1)2+4，
将C(0，3)代入解析式得，a(0+1)2+4=3，
a=﹣1，
可得，抛物线解析式为y=﹣x2﹣2x+3;
(2)由抛物线y=﹣x2﹣2x+3可知，对称轴为x=﹣1，
设M点的横坐标为m，则PM=﹣m2﹣2m+3，MN=(﹣m﹣1)×2=﹣2m﹣2，
∴矩形PMNQ的周长=2(PM+MN)=(﹣m2﹣2m+3﹣2m﹣2)×2=﹣2m2﹣8m+2=﹣2(m+2)2+10，
∴当m=﹣2时矩形的周长最大.
∵A(﹣3，0)，C(0，3)，设直线AC解析式为y=kx+b，
解得k=1，b=3，
∴解析式y=x+3，当x=﹣2时，则E(﹣2，1)，
∴EM=1，AM=1，
∴S= •AM•EM= ×1×1= .
(3)∵M点的横坐标为﹣2，抛物线的对称轴为x=﹣1，
∴N应与原点重合，Q点与C点重合，
∴DQ=DC，
把x=﹣1代入y=﹣x2﹣2x+3，解得y=4，
∴D(﹣1，4)
∴DQ=DC= ，
∵FG=2 DQ，
∴FG=4，
设F(n，﹣n2﹣2n+3)，
则G(n，n+3)，
∵点G在点F的上方，
∴(n+3)﹣(﹣n2﹣2n+3)=4，
解得：n=﹣4或n=1.
∴F(﹣4，﹣5)或(1，0).
24.，在△ABC中，∠A=90°，BC=10，△ABC的面积为25，点D为AB边上的任意一点(D不与A、B重合)，过点D作DE∥BC，交AC于点E.设DE=x，以DE为折线将△ADE翻折(使△ADE落在四边形DBCE所在的平面内)，所得的△A'DE与梯形DBCE重叠部分的面积记为y.
(1)用x表示△ADE的面积;
(2)求出0
(3)求出5
(4)当x取何值时，y的值最大，最大值是多少?
【考点】二次函数综合题.
【分析】(1)由于DE∥BC，可得出三角形ADE和ABC相似，那么可根据面积比等于相似比的平方用三角形ABC的面积表示出三角形ADE的面积.
(2)由于DE在三角形ABC的中位线上方时，重合部分的面积就是三角形ADE的面积，而DE在三角形ABC中位线下方时，重合部分就变成了梯形，因此要先看0
(3)根据(2)可知5
(4)根据(2)(3)两个不同自变量取值范围的函数关系式，分别得出各自的函数最大值以及对应的自变量的值，然后找出最大的y的值即可.
【解答】解：(1)∵DE∥BC，
∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C，
∴△ADE∽△ABC，
∴ ，
即S△ADE= x2;
(2)∵BC=10，
∴BC边所对的三角形的中位线长为5，
∴当0
(3)5
∵S△A′DE=S△ADE= x2，
∴DE边上的高AH=A'H= x，
由已知求得AF=5，
∴A′F=AA′﹣AF=x﹣5，
由△A′MN∽△A′DE知 =( )2，S△A′MN=(x﹣5)2.
∴y= x2﹣(x﹣5)2=﹣ x2+10x﹣25.
(4)在函数y= x2中，
∵0
∴当x=5时y最大为： ，
在函数y=﹣ x2+10x﹣25中，
当x=﹣ = 时y最大为： ，
∵ < ，
∴当x= 时，y最大为： .