2017南宁数学中考模拟试卷及答案(2)
16.如图，在小正方形组成的网格中，△ABC和△DEF的顶点都在格点上，根据图形解答下列问题：
(1)将△ABC向左平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度，画出平移后的△A1B1C1;
(2)将△DEF绕D点逆时针旋转90°，画出旋转后的△DE1F1.
【考点】作图﹣旋转变换;作图﹣平移变换.
【分析】(1)根据图形平移的性质画出平移后的△A1B1C1即可;
(2)根据图形旋转的性质画出旋转后的△DE1F1即可.
【解答】解(1)如图所示：△A1B1C1即为所求;
(2)如图所示：△DE1F1即为所求;
四、(共2小题，满分16分)
17.某条道路上通行车辆限速为60千米/时，在离道路50米的点P处建一个监测点，道路AB段为检测区(如图).在△ABP中，已知∠PAB=30°，∠PBA=45°，那么车辆通过AB段的时间在多少秒以内时，可认定为超速(精确到0.1秒)?(参考数据： ≈1.41， ≈1.73，60千米/时= 米/秒)
【考点】解直角三角形的应用.
【分析】作PC⊥AB于点C，根据三角函数即可求得AC与BC的长，则AB即可求得，用AB的长除以速度即可求解.
【解答】解：作PC⊥AB于点C.
在直角△APC中，tan∠PAC= ，
则AC= =50 ≈86.5(米)，
同理，BC= =PC=50(米)，
则AB=AC+BC≈136.5(米)，
60千米/时= 米/秒，
则136.5÷ ≈8.2(秒).
故车辆通过AB段的时间在8.2秒内时，可认定为超速.
18.如图，我们把一个半圆与抛物线的一部分围成的封闭图形称为“果圆”，已知点A、B、C、D分别是“果圆”与坐标轴的交点，AB为半圆的直径，抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣3，求这个“果圆”被y轴截得线段CD的长 3+ .
【考点】二次函数综合题.
【分析】将x=0代入抛物线的解析式得y=﹣3，故此可得到DO的长，然后令y=0可求得点A和点B的坐标，故此可得到AB的长，由M为圆心可得到MC和OM的长，然后依据勾股定理可求得OC的长，最后依据CD=OC+OD求解即可.
【解答】解：连接AC，BC.
∵抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣3，
∴点D的坐标为(0，﹣3)，
∴OD的长为3.
设y=0，则0=x2﹣2x﹣3，解得：x=﹣1或3，
∴A(﹣1，0)，B(3，0).
∴AO=1，BO=3，AB=4，M(1，0).
∴MC=2，OM=1.
在Rt△COB中，OC= = .
∴CD=CO+OD=3+ ，即这个“果圆”被y轴截得的线段CD的长3+ .
故答案为：3+ .
五、(共2小题，满分20分)
19.某电视台在它的娱乐性节目中每期抽出两名场外幸运观众，有一期甲、乙两人被抽为场外幸运观众，他们获得了一次抽奖的机会，在如图所示的翻奖牌的正面4个数字中任选一个，选中后翻开，可以得到该数字反面的奖品，第一个人选中的数字第二个人不能再选择了.
(1)如果甲先抽奖，那么甲获得“手机”的概率是多少?
(2)小亮同学说：甲先抽奖，乙后抽奖，甲、乙两人获得“手机”的概率不同，且甲获得“手机”的概率更大些.你同意小亮同学的说法吗?为什么?请用列表或画树状图分析.
【考点】列表法与树状图法.
【分析】(1)一共有4种情况，手机有一种，除以总情况数即为所求概率;
(2)列举出所有情况，看所求的情况占总情况的多少即可.
【解答】解：(1)第一位抽奖的同学抽中手机的概率是 ;
(2)不同意.
从树状图中可以看出，所有可能出现的结果共12种，而且这些情况都是等可能的.
先抽取的人抽中手机的概率是 ;
后抽取的人抽中手机的概率是 = .
所以，甲、乙两位同学抽中手机的机会是相等的.
20.某养殖户每年的养殖成本包括固定成本和可变成本，其中固定成本每年均为4万元，可变成本逐年增长，已知该养殖户第1年的可变成本为2.6万元，设可变成本平均每年增长的百分率为x.
(1)用含x的代数式表示第3年的可变成本为 2.6(1+x)2 万元;
(2)如果该养殖户第3年的养殖成本为7.146万元，求可变成本平均每年增长的百分率x.
【考点】一元二次方程的应用.
【分析】(1)根据增长率问题由第1年的可变成本为2.6万元就可以表示出第二年的可变成本为2.6(1+x)，则第三年的可变成本为2.6(1+x)2，故得出答案;
(2)根据养殖成本=固定成本+可变成本建立方程求出其解即可
【解答】解：(1)由题意，得
第3年的可变成本为：2.6(1+x)2，
故答案为：2.6(1+x)2;
(2)由题意，得
4+2.6(1+x)2=7.146，
解得：x1=0.1，x2=﹣2.1(不合题意，舍去).
答：可变成本平均每年增长的百分率为10%.
六、(满分12分)
21.如图，在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，点D为三角形内一点，且∠ACD=∠DAB=∠DBC.
(1)求∠CDB的度数;
(2)求证：△DCA∽△DAB;
(3)若CD的长为1，求AB的长.
【考点】相似三角形的判定与性质;等腰直角三角形.
【分析】(1)只要证明∠CDA=135°，∠ADB=135°即可解决问题.
(2)根据两角对应相等两三角形相似即可判定.
(3)由△DCA∽△DAB，推出 = = = ，又CD=1，推出AD= ，DB=2.根据BC= ，求出BC，再在Rt△ABC中，求出AB即可解决问题.
【解答】(1)解：∵△ABC为等腰直角三角形，
∴∠CAB=45°.
又∵∠ACD=∠DAB，
∴∠ACD+∠CAD=∠DAB+∠CAD=∠CAB=45°，
∴∠CDA=135°
同理可得∠ADB=135°
∴∠CDB=360°﹣∠CDA﹣∠ADB=360°﹣135°﹣135°=90°.
(2)证明：∵∠CDA=∠ADB，∠ACD=∠DAB，
∴△DCA∽△DAB
(3)解：∵△DCA∽△DAB，
∴ = = = ，
又∵CD=1，
∴AD= ，DB=2.
又∵∠CDB=90°，
∴BC= = = ，
在Rt△ABC中，∵AC=BC= ，
∴AB= = .
七、(满分12分)
22.2016年里约奥运会，中国跳水队赢得8个项目中的7块金牌，优秀成绩的取得离不开艰辛的训练.某跳水运动员在进行跳水训练时，身体(看成一点)在空中的运动路线是如图所示的一条抛物线，已知跳板AB长为2米，跳板距水面CD的高BC为3米，训练时跳水曲线在离起跳点水平距离1米时达到距水面最大高度k米，现以CD为横轴，CB为纵轴建立直角坐标系.
(1)当k=4时，求这条抛物线的解析式;
(2)当k=4时，求运动员落水点与点C的距离;
(3)图中CE= 米，CF= 米，若跳水运动员在区域EF内(含点E，F)入水时才能达到训练要求，求k的取值范围.
【考点】二次函数的应用.
【分析】(1)根据抛物线顶点坐标M(3，4)，可设抛物线解析为：y=a(x﹣3)2+4，将点A(2，3)代入可得;
(2)在(1)中函数解析式中令y=0，求出x即可;
(3)若跳水运动员在区域EF内(含点E，F)入水达到训练要求，则在函数y=a(x﹣3)2+k中当x= 米，y>0，当x= 米时y<0，解不等式即可得.
【解答】解：(1)如图所示：
根据题意，可得抛物线顶点坐标M(3，4)，A(2，3)
设抛物线解析为：y=a(x﹣3)2+4，
则3=a(2﹣3)2+4，
解得：a=﹣1，
故抛物线解析式为：y=﹣(x﹣3)2+4;
(2)由题意可得：当y=0，则0=﹣(x﹣3)2+4，
解得：x1=1，x2=5，
故抛物线与x轴交点为：(5，0)，
当k=4时，求运动员落水点与点C的距离为5米;
(3)根据题意，抛物线解析式为：y=a(x﹣3)2+k，
将点A(2，3)代入可得：a+k=3，即a=3﹣k
若跳水运动员在区域EF内(含点E，F)入水，
则当x= 时，y= a+k≥0，即 (3﹣k)+k≥0，
解得：k≤ ，
当x= 时，y= a+k≤0，即 (3﹣k)+k≤0，
解得：k≥ ，
故 ≤k≤ .
八、(满分14分)
23.[发现]如图∠ACB=∠ADB=90°，那么点D在经过A，B，C三点的圆上(如图①)
[思考]如图②，如果∠ACB=∠ADB=a(a≠90°)(点C，D在AB的同侧)，那么点D还在经过A，B，C三点的⊙O上吗?
我们知道，如果点D不在经过A，B，C三点的圆上，那么点D要么在⊙O外，要么在⊙O内，以下该同学的想法说明了点D不在⊙O外.请结合图④证明点D也不在⊙O内.
【证】
[结论]综上可得结论，如果∠ACB=∠ADB=α(点C，D在AB的同侧)，那么点D在经过A，B，C三点的圆上，即：A、B、C、D四点共圆.
[应用]利用上述结论解决问题：
如图⑤，已知△ABC中，∠C=90°，将△ACB绕点A顺时针旋转α度(α为锐角)得△ADE，连接BE、CD，延长CD交BE于点F;
(1)用含α的代数式表示∠ACD的度数;
(2)求证：点B、C、A、F四点共圆;
(3)求证：点F为BE的中点.
【考点】圆的综合题.
【分析】【思考】【证】如图1，假设点D在⊙O内，延长AD交⊙O于点E，连接BE，则∠AEB=∠ACB，根据外角的性质得到∠ADB>∠AEB，于是得到∠ADB>∠ACB，于是得到结论;
【应用】(1)由题意可知，AC=AD，∠CAD=α，根据等腰三角形的性质即可得到∠ACD=90°﹣ ;
(2)根据等腰三角形的性质得到∠ABE=90°﹣ α，同时代的∠ACD=∠ABE，即可得到结论;
(3)由B、C、A、F四点共圆，得到∠BFA+∠BCA=180°，推出AF⊥BE，根据等腰三角形的性质即可得到结论.
【解答】【思考】【证】如图1，假设点D在⊙O内，延长AD交⊙O于点E，连接BE，则∠AEB=∠ACB，
∵∠ADB是△BDE的外角，
∴∠ADB>∠AEB，
∴∠ADB>∠ACB，
因此，∠ADB>∠ACB这与条件∠ACB=∠ADB矛盾，
∴点D也不在⊙O内，
∴点D即不在⊙O内，也不在⊙O外，点D在⊙O上;
【应用】(1)由题意可知，AC=AD，∠CAD=α，
∴∠ACD=90°﹣ ;
(2)∵AB=AE，∠BAE=α，∴∠ABE=90°﹣ α，∴∠ACD=∠ABE，
∴B、C、A、F四点共圆;
(3)∵B、C、A、F四点共圆，
∴∠BFA+∠BCA=180°，
又∵∠ACB=90°，
∴∠BFA=90°，
∴AF⊥BE，
∵AB=AE，
∴BF=EF，
即点F为BE的中点.