2017年福建省莆田市中考数学练习试卷(2)
∵△AOB的面积为6，若AC：CB=1：3，
∴△AOC的面积=6× = ，
∵S△AOC= AC•OA= xy= ，
即 |k|= ，
∴k=±3，
又∵反比例函数的图象在第一象限，
∴y= ，
故答案为y= .
15.，在平行四边形ABCD中，AB=4，BC=5，∠ABC=60°，平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，过点O作OE⊥AD，则OE= .
【考点】平行四边形的性质.
【分析】作CF⊥AD于F，由平行四边形的性质得出∠ADC=∠ABC=60°，CD=AB=4，OA=OC，求出∠DCF=30°，由直角三角形的性质得出DF= CD=2，求出CF= DF=2 ，证出OE是△ACF的中位线，由三角形中位线定理得出OE的长即可.
【解答】解：作CF⊥AD于F，所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ADC=∠ABC=60°，CD=AB=4，OA=OC，
∴∠DCF=30°，
∴DF= CD=2，
∴CF= DF=2 ，
∵CF⊥AD，OE⊥AD，CF∥OE，
∵OA=OC，
∴OE是△ACF的中位线，
∴OE= CF= ;
故答案为： .
三、解答题(共11小题，计78分.解答应写出过程)
16.计算： +(2﹣π)0﹣|1﹣ |
【考点】实数的运算;零指数幂.
【分析】本题涉及零指数幂、绝对值、二次根式化简3个考点.在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果.
【解答】解： +(2﹣π)0﹣|1﹣ |
= +1+1﹣3
= +2.
17.解分式方程： .
【考点】解分式方程.
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解.
【解答】解：去分母得：x2﹣3x+2+3x+9=x2+x﹣6，
解得：x=17，
经检验x=17是分式方程的解.
18.，已知△ABC，请用尺规作△ABC的中位线EF，使EF∥BC.
【考点】作图—复杂作图;平行线的判定;三角形中位线定理.
【分析】分别作出AB、AC的中垂线，得出AB、AC的中点，连接两中点即可得.
【解答】解：，线段EF即为所求作.
19.2016年12月至1月期间由于空气污染严重，天空中被浓浓的雾霾笼罩着，大多数中小学校为了学生的健康，都不得不停课.针对这一情况有关部门对停课在家的学生家长进行了抽样调查.现将学生家长对这一事件态度的调查结果分为四个等级：“A﹣﹣非常不同意”、“B﹣﹣比校同意”、“C﹣﹣不太同意”、“D﹣﹣非常同意”，并将统计结果绘制成如下两幅不完整的统计图.
请根据以上信息，解答下列问题：
(1)补全上面的条形统计图和扇形统计图;
(2)所抽样调查学生家长的人数为 120 人;
(3)若所调查学生家长的人数为1600人，非常不同意停课的人数为多少人?
【考点】条形统计图;用样本估计总体;扇形统计图.
【分析】(1)根据图中信息即可得到结果;
(2)根据题意即可得到结论;
(3)根据总数×非常不同意的人数所占的百分数即可得到结论.
【解答】解：(1)A﹣﹣非常不同意的人数=18÷15%×70%=84，
B﹣﹣比校同意的人数所占的百分数=12÷(18÷15%)=10%，
D﹣﹣非常同意的人数所占的百分数=6÷(18÷15%)=5%，
∴补全的条形统计图和扇形统计图所示：
(2)所抽样调查学生家长的人数=84+12+18+6=120(人);
故答案为：120;
(3)1600×70%=1140(人).
答：非常不同意停课的人数为1140人.
20.，在△AOB中，OA=OB，∠AOB=50°，将△AOB绕O点顺时针旋转30°，得到△COD，OC交AB于点F，CD分别交AB、OB于点E、H.求证：EF=EH.
【考点】旋转的性质.
【分析】根据等腰三角形的性质，可得∠A与∠B，根据旋转的性质，可得∠AOC=∠BOD=30°，OD=OB=OA，∠D=∠B，根据全等三角形的判定与性质，课的答案.
【解答】证明：∵OA=OB，∠AOB=50°，
∴∠A=∠B.
∵将△AOB绕O点顺时针旋转30°，得到△COD，
∴∠AOC=∠BOD=30°，OD=OB=OA，∠D=∠B.
在△AOF和△DOH中，
，
∴△AOF≌△DOH(ASA)，
∴OF=OH，
∵OC=OB，
∴FC=BH.
在△FCE和△HBE中，
，
∴△FCE≌△HBE(AAS)，
∴EF=EH.
21.某学校的学生为了对小雁塔有基本的认识，在老师的带领下对小雁塔进行了测量.测量方法如下：，间接测得小雁塔地部点D到地面上一点E的距离为115.2米，小雁塔的顶端为点B，且BD⊥DE，在点E处竖直放一个木棒，其顶端为C，CE=1.72米，在DE的延长线上找一点A，使A、C、B三点在同一直线上，测得AE=4.8米.求小雁塔的高度.
【考点】相似三角形的应用.
【分析】直接利用相似三角形的判定与性质得出 = ，进而得出答案.
【解答】解：由题意可得：△AEC∽△ADB，
则 = ，
故 = ，
解得：DB=43，
答：小雁塔的高度为43m.
22.移动营业厅推出两种移动电话计费方式：方案一，月租费用15元/元，本地通话费用0.2元/分钟，方案二，月租费用0元/元，本地通话费用0.3元/分钟.
(1)以x表示每个月的通话时间(单位：分钟)，y表示每个月的电话费用(单位：元)，分别表示出两种电话计费方式的函数表达式;
(2)问当每个月的通话时间为300分钟时，采用那种电话计费方式比较合算?
【考点】一次函数的应用.
【分析】(1)根据“方案一费用=月租+通话时间×每分钟通话费用，方案二的费用=通话时间×每分钟通话费用”可列出函数解析式;
(2)根据(1)中函数解析式，分别计算出x=300时的函数值，即可得出答案.
【解答】解：(1)根据题意知，
方案一中通话费用关于时间的函数关系式为：y=15+0.2x，(x≥0)，
方案二中通话费用关于时间的函数关系式为：y=0.3x，(x≥0);
(2)当x=300时，方案一的费用y=15+0.2×300=75(元)，
方案二的费用y=0.3×300=90(元)，
∴采用方案一电话计费方式比较合算.
23.某学校要举办一次演讲比赛，每班只能选一人参加比赛.但八年级一班共有甲、乙两人的演讲水平相不相上下，现要在他们两人中选一人去参加全校的演讲比赛，经班主任与全班同学协商决定用摸小球的游戏来确定谁去参赛(胜者参赛).
游戏规则如下：在两个不透明的盒子中，一个盒子里放着两个红球，一个白球;另一个盒子里放着三个白球，一个红球，从两个盒子中各摸一个球，若摸得的两个球都是红球，甲胜;摸得的两个球都是白球，乙胜，否则，视为平局.若为平局，继续上述游戏，直至分出胜负为止.
根据上述规则回答下列问题：
(1)从两个盒子各摸出一个球，一个球为白球，一个球为红球的概率是多少?
(2)该游戏公平吗?请用列表或树状图等方法说明理由.
【考点】游戏公平性;列表法与树状图法.
【分析】(1)画树状图列出所有等可能结果数，再根据概率公式计算即可得;
(2)分别求出甲获胜和乙获胜的概率，比较后即可得.
【解答】解：(1)画树状图如下：
由树状图可知，共有12种等可能情形，其中一个球为白球，一个球为红球的有7种，
∴一个球为白球，一个球为红球的概率是 ;
(2)由(1)中树状图可知，P(甲获胜)= = ，P(乙获胜)= = ，
∵ ，
∴该游戏规则不公平.
24.，BC为⊙O的直径，A为圆上一点，点F为 的中点，延长AB、AC，与过F点的切线交于D、E两点.
(1)求证：BC∥DE;
(2)若BC：DF=4：3，求tan∠ABC的值.
【考点】切线的性质;解直角三角形.
【分析】(1)连接OF，由题意，可得∠BOF=∠COF=90°，根据切线的性质，可得∠OFE=90°，利用平行线的判定，即可证明;
(2)过点B作BG⊥DE于点G，可得四边形BGFO是正方形，由BC：DF=4：3，可得BG：DG=2：1，利用锐角三角函数即可求得tan∠ABC.
【解答】解：(1)连接OF，
∵点F为 的中点，
∴ ，
∴∠BOF=∠COF，
∵BC为直径，
∴∠BOF+∠COF=180°，
∴∠BOF=∠COF=90°，
∵过F点的切线交于D、E两点，
∴OF⊥DE，
∴∠OFE=90°，
∴∠BOF=∠OFE，
∴BC∥DE;
(2)过点B作BG⊥DE于点G，
∴四边形BGFO是正方形，
∴BG=OF=GF=OB，
∵BC：DF=4：3，
∴BG：DG=2：1，
由(1)可知，tan∠ABC=tan∠BDG= =2.
25.，抛物线y=ax2+bx+1过A(1，0)、B，(5，0)两点.
(1)求：抛物线的函数表达式;
(2)求：抛物线与y轴的交点C的坐标及其对称轴
(3)若抛物线对称轴上有一点P，使△COA∽△APB，求点P的坐标.
【考点】二次函数综合题.
【分析】(1)把A、B两点坐标代入，可求得a、b的值，可求得抛物线的函数表达式;
(2)根据(1)中所求抛物线的解析式可求得C点的坐标，及对称轴;
(3)由A、C点的坐标可判定△COA为等腰直角三角形，若△COA∽△APB，可知△APB为等腰直角三角形，利用直角三角形的性质可求得P到x轴的距离，可求得P点坐标.
【解答】解：
(1)∵抛物线y=ax2+bx+1过A(1，0)、B，(5，0)两点，
∴ ，解得 ，
∴抛物线的函数表达式为y= x2﹣ x+1;
(2)在y= x2﹣ x+1中，令x=0可得y=1，
∴C点坐标为(0，1)，
又y= x2﹣ x+1= (x﹣3)2﹣ ，
∴抛物线对称轴为直线x=3;
(3)∵A(1，0)，C(0，1)，
∴OA=OC=1，
∴△COA为等腰直角三角形，且∠COA=90°，
∵△COA∽△APB，
∴△APB为等腰直角三角形，∠APB=90°，
∵P在抛物线对称轴上，
∴P到AB的距离= AB= ×(5﹣1)=2，
∴P点坐标为(3，2)或(3，﹣2).
26.(1)1，在AB直线一侧C、D两点，在AB上找一点P，使C、D、P三点组成的三角形的周长最短，找出此点并说明理由.
(2)2，在∠AOB内部有一点P，是否在OA、OB上分别存在点E、F，使得E、F、P三点组成的三角形的周长最短，找出E、F两点，并说明理由.
(3)3，在∠AOB内部有两点M、N，是否在OA、OB上分别存在点E、F，使得E、F、M、N，四点组成的四边形的周长最短，找出E、F两点，并说明理由.
【考点】轴对称﹣最短路线问题.
【分析】(1)由于△PCD的周长=PC+CD+PD，而CD是定值，故只需在直线l上找一点P，使PC+PD最小.如果设C关于l的对称点为C′，使PC+PD最小就是使PC′+PD最小;
(2)作P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD角OA、OB于E、F.此时△PEF周长有最小值;
(3)3，作M关于OA的对称点C，关于OB的对称点D，连接CD，交OA于E，OB于F，此时使得E、F、M、N，四点组成的四边形的周长最短.
【解答】解：(1)1，作C关于直线AB的对称点C′，
连接C′D交AB于点P.
则点P就是所要求作的点.
理由：在l上取不同于P的点P′，连接CP′、DP′.
∵C和C′关于直线l对称，
∴PC=PC′，P′C=P′C′，
而C′P+DP
∴PC+DP
∴CD+CP+DP
即△CDP周长小于△CDP′周长;
(2)2，作P关于OA的对称点C，关于OB的对称点D，连接CD，交OA于E，OB于F，
则点E，F就是所要求作的点.
理由：在OA，OB上取不同于E，F的点E′，F′，连接CE′、E′P′，
∵C和P关于直线OA对称，
∴PE=CE，CE′=PE′，PF=DF，PF′=DF′，
∵PE+EF+PF=CE+EF+DF，PE′+PF′+E′F′=CE′+E′F′+DE′，
∴CE+EF+DF
∴PE+EF+PF
(3)3，作M关于OA的对称点C，关于OB的对称点D，连接CD，交OA于E，OB于F，
则点E，F就是所要求作的点.
理由：在OA，OB上取不同于E，F的点E′，F′，连接CE′、E′P′，
∵C和P关于直线OA对称，
∴PE=CE，CE′=PE′，PF=DF，PF′=DF′，
由(2)得知MN+ME+EF+MF