2017年福建中考数学练习试题及答案(2)
【分析】根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AE=BE，然后求出△ABE是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质求出∠BAE=∠ABE=45°，再根据等腰三角形两底角相等求出∠ABC，然后求出∠CBE，根据等腰三角形三线合一的性质可得BF=CF，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得BF=EF，根据等边对等角求出∠BEF=∠CBE，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解.
【解答】解：∵DE垂直平分AB，
∴AE=BE，
∵BE⊥AC，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴∠BAE=∠ABE=45°，
又∵AB=AC，
∴∠ABC= = =67.5°，
∴∠CBE=∠ABC﹣∠ABE=67.5°﹣45°=22.5°，
∵AB=AC，AF⊥BC，
∴BF=CF，
∵EF= BC(直角三角形斜边中线等于斜边的一半)，
∴BF=EF=CF，
∴∠BEF=∠CBE=22.5°，
∴∠EFC=∠BEF+∠CBE=22.5°+22.5°=45°.
故答案为：45.
三、解答题(共96分)
19.先化简，再求值：( ﹣2)÷ ，其中x=2•sin60°+(3﹣π)0﹣ .
【考点】分式的化简求值;实数的运算;零指数幂;特殊角的三角函数值.
【分析】首先对括号内的式子通分相加，把除法转化为乘法，然后计算乘法即可化简，然后化简x的值，代入数值计算即可.
【解答】解：原式= ×
= ×
=x﹣1，
当x=2× +1﹣2 =﹣ +1，
原式=﹣ .
20.甲口袋中装有两个相同的小球，它们的标号分别为2和5，乙口袋中装有两个相同的小球，它们的标号分别为4和9，丙口袋中装有三个相同的小球，它们的标号分别为1，6，7.从这3个口袋中各随机取出一个小球.
(1)用树形图表示所有可能出现的结果;
(2)若用取出的三个小球的标号分别表示三条线段的长，求这些线段能构成三角形的概率.
【考点】列表法与树状图法;三角形三边关系.
【分析】(1)依据题意画树状图法分析所有等可能的出现结果即可解答;
(2)根据树状图结合三角形的三边关系列举出能够成三角形的情况，用能够成三角形的情况数：总的情况数即可得到概率.
【解答】解：(1)所示：
，
所以共有12种可能出现的结果;
(2)这些线段能够成三角形(记为事件A)的结果有4种：(5，4，6);(5，4，7);(5，9，6)(5，9，7)，
所以P(A)= = .
21.某校为了解学生的课外阅读情况，就“我最喜爱的课外读物”对文学、艺术、科普和其他四个类别进行了抽样调查(每位同学只选一类)，并根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息，解答下列问题：
(1)这次被调查的学生共有多少名?
(2)请将条形统计图补充完整;并在扇形统计图中，计算出“其他类”所对应的圆心角的度数;
(3)若该校有2400名学生，请你估计该校喜爱“科普类”的学生有多少名.
【考点】条形统计图;用样本估计总体;扇形统计图.
【分析】(1)用喜欢文学的人数除以其所占的百分比即可求得调查的学生总数;
(2)用总人数乘以每种情况所占的百分比后即可求得每一个小组的频数，从而补全统计图;
(3)首先求得喜欢科普类的学生所占的百分比，然后确定喜爱科普类的学生数即可.
【解答】解：(1)60÷30%=200(人).
答：这次调查的学生共有200人.
(2)200×20%=40(人)
补充条形统计图(艺术)
200﹣(60+80+40)=20(人)
补充条形统计图(其他)
(注：没有算出40人，20人的步骤，直接补充条形图可得分)
20÷200=10%
10%×360°=36°.
答：“其它类”所对应的圆心角是36°.
(3)80÷200=40%
2400×40%=960(人).
答：该校喜爱“科普类”的学生有960人.
22.，小明在山脚下的A处测得山顶N的仰角为45°，此时，他刚好与山底D在同一水平线上.然后沿着坡度为30°的斜坡正对着山顶前行110米到达B处，测得山顶N的仰角为60°.求山的高度.(结果精确到1米，参考数据： ≈1.414， ≈1.732).
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题;解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题.
【分析】过点B作BF⊥DN于点F，过点B作BE⊥AD于点E，根据余弦的定义求出AE，根据正弦的定义求出BE，设BF=x米，根据正切的定义求出NF，结合图形列出方程，解方程即可.
【解答】解：过点B作BF⊥DN于点F，过点B作BE⊥AD于点E，
∵∠D=90°，
∴四边形BEDF是矩形，
∴BE=DF，BF=DE，
在Rt△ABE中，AE=AB•cos30°=110× =55 (米)，
BE=AB•sin30°= ×110=55(米)，
设BF=x米，则AD=AE+ED=55 +x(米)，
在Rt△BFN中，NF=BF•tan60°= x(米)，
∵∠NAD=45°，
∴AD=DN，
∴DN=DF+NF=55+ x(米)，
即55 +x= x+55，
解得：x=55，
∴DN=55+ x≈150(米)，
答：山的高度约为150米.
23.，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB边上一点，以BD为直径的⊙O与边AC相切于点E，连结DE并延长，与BC的延长线交于点F.
(1)求证：BD=BF;
(2)若BC=6，AD=4，求sinA的值.
【考点】切线的性质;相似三角形的判定与性质.
【分析】(1)利用三角形中位线定理证得OE∥BC.所以由平行线的性质、等腰三角形的性质推知∠ODE=∠F，则易证得结论;
(2)设⊙O半径为r.根据相似三角形△AOE∽△ABC的对应边成比例列出关于半径r的方程，通过解方程即可求得r的值.然后通过解Rt△AOE来求sinA的值.
【解答】(1)证明：连结OE.
∵AC切⊙O于E，
∴OE⊥AC，
又∵∠ACB=90°即BC⊥AC，
∴OE∥BC
∴∠OED=∠F.
又∵OD=OE，
∴∠OED=∠ODE，
∴∠ODE=∠F
∴BD=BF;
(2)解：设⊙O半径为r，由(1)知，OE∥BC得△AOE∽△ABC.
∴ ，即 ，
∴r2﹣r﹣12=0，
解之得r1=4，r2=﹣3(舍去).
在Rt△AOE中，
∴sinA= .
24.甲、乙两车从A地驶向B地，并以各自的速度匀速行驶，甲车比乙车早行驶2h，并且甲车途中休息了0.5h，是甲乙两车行驶的距离y(km)与时间x(h)的函数图象.
(1)求出图中m，a的值;
(2)求出甲车行驶路程y(km)与时间x(h)的函数解析式，并写出相应的x的取值范围;
(3)当乙车行驶多长时间时，两车恰好相距50km.
【考点】一次函数的应用;一元一次方程的应用.
【分析】(1)根据“路程÷时间=速度”由函数图象就可以求出甲的速度求出a的值和m的值;
(2)由分段函数当0≤x≤1，1
(3)先求出乙车行驶的路程y与时间x之间的解析式，由解析式之间的关系建立方程求出其解即可.
【解答】解：(1)由题意，得
m=1.5﹣0.5=1.
120÷(3.5﹣0.5)=40，
∴a=40.
答：a=40，m=1;
(2)当0≤x≤1时设y与x之间的函数关系式为y=k1x，由题意，得
40=k1，
∴y=40x
当1
y=40;
当1.5
，
解得： ，
∴y=40x﹣20.
y= ;
(3)设乙车行驶的路程y与时间x之间的解析式为y=k3x+b3，由题意，得
，
解得： ，
∴y=80x﹣160.
当40x﹣20﹣50=80x﹣160时，
解得：x= .
当40x﹣20+50=80x﹣160时，
解得：x= .
= ， .
答：乙车行驶 小时或 小时，两车恰好相距50km.
25.在平行四边形ABCD中，E是AD上一点，AE=AB，过点E作直线EF，在EF上取一点G，使得∠EGB=∠EAB，连接AG.
(1)①，当EF与AB相交时，若∠EAB=60°，求证：EG=AG+BG;
(2)②，当EF与CD相交时，且∠EAB=90°，请你写出线段EG、AG、BG之间的数量关系，并证明你的结论.
【考点】平行四边形的性质;全等三角形的判定与性质.
【分析】(1)首先作∠GAH=∠EAB交GE于点H，易证得△ABG≌△AEH，又由∠EAB=60°，可证得△AGH是等边三角形，继而证得结论;
(2)首先作∠GAH=∠EAB交GE于点H，易证得△ABG≌△AEH，继而可得△AGH是等腰直角三角形，则可求得答案.
【解答】(1)证明：①，作∠GAH=∠EAB交GE于点H.
∴∠GAB=∠HAE.
∵∠EAB=∠EGB，∠APE=∠BPG，
∴∠ABG=∠AEH.
在△ABG和△AEH中，
，
∴△ABG≌△AEH(ASA).
∴BG=EH，AG=AH.
∵∠GAH=∠EAB=60°，
∴△AGH是等边三角形.
∴AG=HG.
∴EG=AG+BG;
(2)EG= AG﹣BG.
②，作∠GAH=∠EAB交GE于点H.
∴∠GAB=∠HAE.
∵∠EGB=∠EAB=90°，
∴∠ABG+∠AEG=∠AEG+∠AEH=180°.
∴∠ABG=∠AEH.
∵又AB=AE，
∴△ABG≌△AEH.
∴BG=EH，AG=AH.
∵∠GAH=∠EAB=90°，
∴△AGH是等腰直角三角形.
∴ AG=HG.
∴EG= AG﹣BG.
26.，已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴的一个交点为A(3，0)，与y轴的交点为B(0，3)，其顶点为C，对称轴为x=1.
(1)求抛物线的解析式;
(2)已知点M为y轴上的一个动点，当△ABM为等腰三角形时，求点M的坐标;
(3)将△AOB沿x轴向右平移m个单位长度(0
【考点】二次函数综合题.
【分析】(1)根据对称轴可知，抛物线y=ax2+bx+c与x轴的另一个交点为(﹣1，0)，根据待定系数法可得抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3.
(2)分三种情况：①当MA=MB时;②当AB=AM时;③当AB=BM时;三种情况讨论可得点M的坐标.
(3)平移后的三角形记为△PEF.根据待定系数法可得直线AB的解析式为y=﹣x+3.易得AB平移m个单位所得直线EF的解析式为y=﹣x+3+m.根据待定系数法可得直线AC的解析式.连结BE，直线BE交AC于G，则G( ，3).在△AOB沿x轴向右平移的过程中.根据图象，易知重叠部分面积有两种情况：①当0
【解答】解：(1)由题意可知，抛物线y=ax2+bx+c与x轴的另一个交点为(﹣1，0)，则
，
解得 .
故抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3.
(2)依题意：设M点坐标为(0，t)，
①当MA=MB时：
解得t=0，
故M(0，0);
②当AB=AM时：
解得t=3(舍去)或t=﹣3，
故M(0，﹣3);
③当AB=BM时，
解得t=3±3 ，
故M(0，3+3 )或M(0，3﹣3 ).
所以点M的坐标为：(0，0)、(0，﹣3)、(0，3+3 )、(0，3﹣3 ).
(3)平移后的三角形记为△PEF.
设直线AB的解析式为y=kx+b，则
，
解得 .
则直线AB的解析式为y=﹣x+3.
△AOB沿x轴向右平移m个单位长度(0
易得直线EF的解析式为y=﹣x+3+m.
设直线AC的解析式为y=k′x+b′，则
，
解得 .
则直线AC的解析式为y=﹣2x+6.
连结BE，直线BE交AC于G，则G( ，3).
在△AOB沿x轴向右平移的过程中.
①当0
设PE交AB于K，EF交AC于M.
则BE=EK=m，PK=PA=3﹣m，
联立 ，
解得 ，
即点M(3﹣m，2m).
故S=S△PEF﹣S△PAK﹣S△AFM
= PE2﹣ PK2﹣ AF•h
= ﹣ (3﹣m)2﹣ m•2m
=﹣ m2+3m.
②当
设PE交AB于K，交AC于H.
因为BE=m，所以PK=PA=3﹣m，
又因为直线AC的解析式为y=﹣2x+6，
所以当x=m时，得y=6﹣2m，
所以点H(m，6﹣2m).
故S=S△PAH﹣S△PAK
= PA•PH﹣ PA2
=﹣ (3﹣m)•(6﹣2m)﹣ (3﹣m)2
= m2﹣3m+ .
综上所述，当0＜m≤ 时，S=﹣ m2+3m；当 ＜m＜3时，S= m2﹣3m+ ．