2017年黑龙江大庆中考数学模拟真题(2)
(2)若DE=6cm，AE=3cm，求⊙O的半径.
25.(10分)四边形ABCD中，∠B+∠D=180°，对角线AC平分∠BAD.
(1)①，若∠DAB=120°，且∠B=90°，试探究边AD、AB与对角线AC的数量关系并说明理由.
(2)②，若将(1)中的条件“∠B=90°”去掉，(1)中的结论是否成立?请说明理由.
(3)③，若∠DAB=90°，探究边AD、AB与对角线AC的数量关系并说明理由.
26.(12分)，二次函数y=kx2-3kx-4k(k≠0)的图象与x轴交于A，B两点(点A在点B的右侧)，与y轴交于点C，OC=OA.
(1)求点A坐标和抛物线的解析式;
(2)抛物线上是否存在点P，使得△ACP是以AC为直角边的直角三角形?若存在，求出所有符合条件的点P的坐标;若不存在，说明理由;
(3)过抛物线上的点Q作垂直于y轴的直线，交y轴于点E，交直线AC于点D，过点D作x轴的垂线，垂足为F，连接EF，当线段EF的长度最短时，直接写出点Q的坐标.
2017年黑龙江大庆中考数学模拟试题答案
1.C 2.B 3.B 4.C 5.C 6.C 7.B 8.A
9.B 解析：∵点E，F分别是CD和AB的中点，∴EF⊥AB，EF∥BC，∴EG是△DCH的中位线，∴DG=HG.由折叠的性质可得∠AGH=∠ABH=90°，∴∠AGH=∠AGD=90°，∠BAH=∠HAG.易证△ADG≌△AHG(SAS)，∴AD=AH，∠DAG=∠HAG，∴∠BAH=∠HAG=∠DAG=13∠BAD=30°.在Rt△ABH中，AH=AD=4，∠BAH=30°，∴HB=2，AB=23，∴CD=23.
10.D 解析：过点A作AD⊥x轴于点D，过点B作BE⊥y轴于点E，则易得△AOD∽△CBE.由两个三角形相似可得AOBC=ADCE=ODBE=3.设点A的横坐标为3a，则其纵坐标为3a2，则BE=OD3=a，CE=AD3=a2.∵直线BC是由直线AO向上平移4个单位得到的，∴CO=4，∴EO=4+a2，即点B的坐标为a，4+a2.又∵点A，B都在双曲线y=kx上，∴k=3a•3a2=a•4+a2，解得a=1(舍去0)，∴k=92.
11.x(x-2)(x+2) 12.24
13.50(1-x)2=32 14.183 15.14 16.128
17.-43 解析：设点A(a，-a+1)，B (b，-b+1)(a
18.①②④ 解析：∵AF是AB翻折而来，∴AF=AB=6.∵AD=BC=33，∴DF=AF2-AD2=3，∴F是CD中点，∴①正确;，连接OP.∵⊙O与AD相切于点P，∴OP⊥AD.∵AD⊥DC，∴OP∥CD，∴AOAF=OPDF.设OP=OF=x，则AO=6-x，6-x6=x3，解得x=2，即⊙O的半径为2，∴②正确;∵在Rt△ADF中，AF=6，DF=3，∴∠DAF=30°，∠AFD=60°，∴∠EAF=∠EAB=30°，∴AE=2EF.∵∠AFE=90°，∴∠EFC=90°-∠AFD=30°，∴EF=2EC，∴AE=4CE，∴③错误;，连接OG，PG，作OH⊥FG.∵∠AFD= 60°，OF=OG，∴△OFG为等边三角形.同理，△OPG为等边三角形.∴∠POG=∠FOG=60°，OH=32OG=3，S扇形OPG=S扇形OGF，∴S阴影=(S矩形OPDH-S扇形OPG-S△OGH)+(S扇形OGF-S△OFG)=S矩形OPDH-32S△OFG=2×3-3212×2×3=32.∴④正确.故答案为①②④.
19.解：∵∠AEC=42°，∴∠AED=180°-∠AEC=138°.(2分)∵EF平分∠AED，∴∠DEF=12∠AED=69°.(4分)又∵AB∥CD，∴∠AFE=∠DEF=69°.(6分)
20.解：(1)原式=1-4+2=-1.(3分)
(2)原式=a-1-1a-1÷(a-2)2a(a-1)=a-2a-1•a(a-1)(a-2)2=aa-2.(6分)
21.证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD=BC，AB=DC，AD∥BC，∴AF∥EC.(3分)∵DF=DC，BE=BA，∴BE=DF，∴AF=EC，(6分)∴四边形AECF是平行四边形，∴AE=CF.(8分)
22.解：(1)调查的总人数是：19÷38%=50(人).(2分)C组的人数有50-15-19-4=12(人)，补全条形图所示.(4分)
(2)画树状图如下.(6分)共有12种等可能的结果，恰好选中甲的结果有6种，∴P(恰好选中甲)=612=12.(8分)
23.解：(1)设该商家第一次购进机器人x个，依题意得11000x+10=240002x，解得x=100.(2分)经检验，x=100是所列方程的解，且符合题意.(3分)
答：该商家第一次购进机器人100个.(4分)
(2)设每个机器人的标价是a元.则依 题意得(100+200)a-11000-24000≥(11000+24000)×20%，解得a≥140.(7分)
答：每个机器人的标价至少是140元.(8分)
24.(1)证明：连接OD.(1分)∵OA=OD，∴∠OAD=∠ODA.∵∠OAD=∠DAE，∴∠ODA=∠DAE，∴DO∥MN.(3分)∵DE⊥MN，∴OD⊥DE，∴DE是⊙O的切线.(4分)
(2)解：连接CD.∵DE⊥MN，∴∠AED=90°.在Rt△AED中，DE=6cm，AE=3cm，∴AD=AE2+DE2=35cm.(6分)∵AC是⊙O的直径，∴∠ADC=∠AED=90°.∵∠CAD=∠DAE，∴△ACD∽△ADE，∴ACAD=ADAE，即AC=AD2AE，∴AC=15cm，∴OA=12AC=7.5cm，即⊙O的半径是7.5cm.(8分)
25.解：(1)AC=AD+AB.(1分)理由如下：在四边形ABCD中，∠D+∠B=180°，∠B=90°，∴∠D=90°.∵∠DAB=120°，AC平分∠DAB，∴∠DAC=∠BAC=60°，∴AB=12AC，同理AD=12AC.∴AC=AD+AB.(3分)
(2)(1)中的结论成立.(4分)理由如下：②，以C为顶点，AC为一边作∠ACE=60°，∠ACE的另一边与AB的延长线交于点E.∵∠BAC=60°，∴△AEC为等边三角形，∴AC=AE=CE.∵∠D+∠ABC=180°，∠DAB=120°，∴∠DCB=60°，∴∠DCA=∠BCE.∵∠D+∠ABC=180°，∠ABC+∠EBC=180°，∴∠D=∠CBE.∵CA=CE，∴△DAC≌△BEC，∴AD=BE，∴AC=AD+AB.(6分)
(3)结论：AD+AB=2AC.(7分)理由如下：③，过点C作CE⊥AC与AB的延长线交于点E.∵∠D+∠ABC=180°，∠DAB=90°，∴∠DCB= 90°.∵∠ACE=90°，∴∠DCA=∠BCE.又∵AC平分∠DAB，∴∠CAB=45°，∴∠E=45°.∴AC=CE.又∵∠D+∠ABC=180°，∴∠D=∠CBE，∴△CDA≌△CBE，∴AD=BE，∴AD+AB=AE.(9分)在Rt△ACE中，∠CAB=45°，∴AE=ACcos45°=2AC，∴AD+AB=2A C.(10分)
26.解：(1)当y=0时，kx2-3kx-4k=0.∵k≠0，∴x2-3x-4=0，解得x1=-1，x2=4，∴B(-1，0)，A(4，0).(2分)∵OA=OC，∴C(0，4).把x=0，y=4代入y=kx2-3kx-4k，得k=-1，则抛物线的解析式为y=-x2+3x+4.(4分)
(2)①当∠PCA=90°时，过点P作PM⊥y轴于M，①，∴∠MCP+∠ACO=90°.∵∠OAC+∠ACO=90°，∴∠MCP=∠OAC.∵OA=OC，∴∠MCP=∠OAC=45°，∴∠MCP=∠MPC=45°，∴MC=MP. 设P(m，-m2+3m+4)，则PM=CM=m，OM=-m2+3m+4，∴m+4=-m2+3m+4，解得m1=0(舍去)，m2=2，∴-m2+3m+4=6，即P(2，6).(6分)
②当∠PAC=90°时，过点P作PN⊥y轴于N，设AP与y轴交于点F，②，则有PN∥x轴，∴∠FPN=∠OAP.∵∠CAO=45°，∴∠OAP=45°，∴∠FPN=45°，AO=OF=4，∴PN=NF，设P(n，-n2+3n+4)，则PN=-n，ON=n2-3n-4，∴-n+4=n2-3n-4，解得n1=-2，n2=4(舍去)，∴-n2+3n+4=-6，即P(-2，-6).
综上所述，点P的坐标是(2，6)或(-2，-6).(8分)
(3)当点Q的坐标是3+172，2或3-172，2时，线段EF的长度最短.(12分) 解析：③，∵∠OED=∠DFO=∠EOF=90°，∴四边形OEDF是矩形，∴EF=OD.∴当线段EF的长度最短时，OD最小，此时OD⊥AC.∵OA=OC，∴∠COD=∠AOD=45°，CD=AD.∵DF∥OC，∴△ADF∽△ACO，∴FDOC=ADAC=12，∴FD=12OC=2，∴yQ=2，解-x2+3x+4=2，得x1=3+172，x2=3-172，∴点Q的坐标是3+172，2或3-172，2.